# Teorema de Bayes > [!NOTE] Teorema de Bayes > **Qual é a probabilidade de uma hipótese ser verdadeira dado que a evidência é verdadeira?** Essa probabilidade é igual à probabilidade conjunta de a hipótese ser verdadeira e a evidência ser verdadeira, dividida pela probabilidade de a evidência ser verdadeira Matematicamente é expresso por: $ P(h|e) = \frac{p(h)p(e|h)}{p(h)p(e|h)+p(\neg h) p(e|\neg h)} $ $ P (h | e) = \frac{p(h)p(e|h)}{p(e)} $ Sendo: - E: Evidência - H: Hipótese Uma forma visual de interpretar este resultado é pensar no seguinte caso: **:: Referências: ::** [[Bayes theorem, the geometry of changing beliefs]] **:: Referência ::** [Teorema de Bayes – Wikipédia, a enciclopédia livre](https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes) ## Demonstração visual do Teorema de Bayes  ## Exemplo de uso - Teste de drogas Suponha que um teste específico para saber se alguém está usando _cannabis_ seja **90% sensível**, o que significa que a taxa de verdadeiros positivos (TVP) = 0.90. Portanto, ele leva a 90% de resultados verdadeiros positivos (identificação correta do uso de drogas) para usuários de _cannabis_. O teste também é **80% específico**, o que significa que a taxa de verdadeiros negativos (TVN) = 0.80. Portanto, o teste identifica corretamente 80% do não-uso para não-usuários, mas também gera 20% de falsos positivos, ou taxa de falsos positivos (TFP) = 0.20, para não-usuários. **Assumindo uma prevalência de 0.05, o que significa que 5% das pessoas usam _cannabis_, qual é a probabilidade de que uma pessoa aleatória que testa positivo seja realmente um usuário de _cannabis_?** O **Valor Preditivo Positivo (VPP)** de um teste é a proporção de pessoas que são realmente positivas de todas aquelas que testaram positivo, e pode ser calculado a partir de uma amostra como: $VPP = \text{Verdadeiro positivo} / \text{Testado positivo}$ Se a sensibilidade, especificidade e prevalência são conhecidas, o VPP pode ser calculado usando o teorema de Bayes. Seja $P(\text{Usuário}|\text{Positivo})$ o significado de "a probabilidade de que alguém seja um usuário de _cannabis_ dado que testa positivo", que é o que o VPP significa. Podemos escrever: $P({\text{Usuário}} | {\text{Positivo}}) =\frac {P({\text{Positivo}}\vert {\text{Usuário}})P({\text{Usuário}})}{P({\text{Positivo}})}$ $P({\text{Usuário}} | {\text{Positivo}}) = \frac{P({\text{Positivo}}| {\text{Usuário}})P({\text{Usuário}})}{P({\text{Positivo}}| {\text{Usuário}})P({\text{Usuário}})+P({\text{Positivo}}| {\text{Não-usuário}})P({\text{Não-usuário})}}$ $P({\text{Usuário}} | {\text{Positivo}})={\frac {0.90\times 0.05}{0.90\times 0.05+0.20\times 0.95}}={\frac {0.045}{0.045+0.19}}\approx 19\%$ O denominador $P(Positivo)=P(Positivo|Usuário)P(Usuário)+P(Positivo|Não-usuário)P(Não-usuário)$ é uma aplicação direta da Lei da Probabilidade Total. Neste caso, ela diz que a probabilidade de que alguém teste positivo é a probabilidade de que um usuário teste positivo vezes a probabilidade de ser um usuário, mais a probabilidade de que um não-usuário teste positivo, vezes a probabilidade de ser um não-usuário. Isso é verdade porque as classificações usuário e não-usuário formam uma partição de um conjunto, ou seja, o conjunto de pessoas que fazem o teste de drogas. Isso combinado com a definição de probabilidade condicional resulta na declaração acima. Em outras palavras, se alguém testa positivo, a probabilidade de que ele seja um usuário de _cannabis_ é de apenas **19%** — porque, neste grupo, apenas **5%** das pessoas são usuárias, e a maioria dos positivos são **falsos positivos** provenientes dos **95%** restantes. Se 1.000 pessoas fossem testadas: - 950 são **não-usuários** e **190** delas dão **falso positivo** (0.20 × 950) - 50 são **usuários** e **45** delas dão **verdadeiro positivo** (0.90 × 50) As 1.000 pessoas, portanto, têm **235** testes positivos, dos quais apenas **45** são genuínos, cerca de **19%**. # Aparições A Teoria de Bayes trata essencialmente do que acontece com a probabilidade de um evento se outros eventos ocorrem, ou à medida que ocorrem. Esta é provavelmente a maneira mais simples de ver as ideias de Bayes - é apenas uma questão de contagem. Primeiramente, escrevemos o [[Espaço amostral]] - ou seja, uma lista de todas as possibilidades - juntamente com suas probabilidades individuais, se nem todas forem iguais (esta é realmente uma boa ideia quando analisamos qualquer questão confusa ligada à probabilidade). Em seguida, riscamos as probabilidades eliminadas pela condição. O que resta são as possibilidades restantes e suas probabilidades relativas. Na terminologia Bayesiana, as estimativas iniciais são chamadas de probabilidades a priori, e as novas suposições, probabilidades a posteriori. **:: Referência ::** [[O andar do bêbado]]